傅立叶级数、傅立叶变换实际上就是线性组合。
1 对周期函数进行分解的猜想
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，比如下图中，黑色的斜线就是周期为2π
的函数，而红色的曲线是三角函数之和，可以看出两者确实近似：
而另外一位数学家：
让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。
2 分解的思路
假设f(x)是周期为T的函数，傅里叶男爵会怎么构造三角函数的和，使之等于f(x)？
2.1 常数项
对于y=C,C∈R这样的常数函数：
根据周期函数的定义，常数函数是周期函数，周期为任意实数。
所以，分解里面得有一个常数项。
2.2 通过sin(x),cos(x)进行分解
首先，sin(x),cos(x)是周期函数，进行合理的加减组合，结果可以是周期函数。
其次，它们的微分和积分都很简单。
然后，sin(x)是奇函数，即：
从图像上也可以看出，sin(x)关于原点对称，是奇函数：
而奇函数与奇函数加减只能得到奇函数，即：
其中，fodd表示奇函数。
而cos(x)是偶函数，即：
从图像上也可以看出，cos(x)关于Y轴对称，是偶函数：
同样的，偶函数与偶函数加减只能得到偶函数，即：
其中，feven表示偶函数。
但是任意函数可以分解和奇偶函数之和：
所以同时需要sin(x),cos(x)。
2.3 保证组合出来周期为T
之前说了，f(x)是周期为T的函数，我们怎么保证组合出来的函数周期依然为T呢？
比如下面这个函数的周期为2π：
很显然，sin(x)的周期也是2π：
sin(2x)的周期也是2π，虽然最小周期是π：
很显然，sin(nx)的周期都是2π：
更一般的，如果f(x)的周期为T，那么：
这些函数的周期都为T。
将这些函数进行加减，就保证了得到的函数的周期也为T。
2.4 调整振幅
现在我们有一堆周期为2π的函数了，比如说sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)：
通过调整振幅可以让它们慢慢接近目标函数，比如sin(x)看起来处处都比目标函数低一些：
把它的振幅增加一倍：
2sin(x)有的地方超出去了，从周期为2π的函数中选择一个，减去一点：
调整振幅，加加减减，我们可以慢慢接近目标函数：
2.5 小结
综上，构造出来的三角函数之和大概类似下面的样子：
这样就符合之前的分析：
- 有常数项
- 奇函数和偶函数可以组合出任意函数
- 周期为T
- 调整振幅，逼近原函数
之前的分析还比较简单，后面开始有点难度了。即怎么确定这三个系数：
3 sin(x)的另外一种表示方法
直接不好确定，要迂回一下，先稍微介绍一下什么是：eiwt？
3.1 eiwt
看到类似于eiθ这种就应该想到复平面上的一个夹角为θ的向量：
那么当θ不再是常数，而是代表时间的变量t的时候：
随着时间t的流逝，从0开始增长，这个向量就会旋转起来,2π秒会旋转一圈，也就是：T=2π
3.2 通过eiwt表示sin(t)
根据欧拉公式，有：
所以，在时间t轴上，把eit向量的虚部（也就是纵坐标）记录下来，得到的就是sin(t):
在时间t轴上，把ei2t向量的虚部记录下来，得到的就是sin(2t)：
如果在时间t轴上，把eit的实部（横坐标）记录下来，得到的就是cos(t)的曲线：
更一般的我们认为，我们具有两种看待sin(x),cos(x)的角度：
这两种角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称为频域；一个可以看到流逝的时间，所以称为时域：
4 通过频域来求系数
4.1 函数是线性组合
假设有这么个函数：
是一个T=2π的函数：
如果转到频域去，那么它们是下面这个复数函数的虚部：
先看看eiθ+ei2θ，其中θ是常数，很显然这是两个向量之和：
现在让它们动起来，把θ变成流逝的时间t，并且把虚部记录下来：
我们令：
这里用大写的G来表示复数函数。
刚才看到了，eit和ei2t都是向量，所以上式可以写作：
这里就是理解的重点了，从线性代数的角度：
- eit和ei2t是基（可以参考无限维的希尔伯特空间，自行google）
- G(t)是基eit,ei2t的线性组合
g(t)是G(t)的虚部，所以取虚部，很容易得到：
即g(t)是基sin(t),sin(2t)的线性组合。
那么sin(t),sin(2t)的系数，实际上是g(t)在基sin(t),sin(2t)下的坐标了。
4.2 如何求正交基的坐标
有了这个结论之后，我们如何求坐标？
我们来看个例子，假设：
其中
通过点积：
可知这两个向量正交，是正交基。图示如下：
通过点积可以算出
的系数（对于正交基才可以这么做）：
4.3 如何求sin(nt)基下的坐标
在这里抛出一个结论（可以参考无限维的希尔伯特空间,自行google），函数向量的点积是这么定义的：
其中，f(x)是函数向量，g(x)是基，T是f(x)的周期。
那么对于：g(x)=sin(x)+sin(2x)
其中，g(x)是向量，sin(t),sin(2t)是基，周期T=2π。
根据刚才内积的定义：
所以是正交基，那么根据刚才的分析，可以这么求坐标：
4.4 更一般的
对于我们之前的假设，其中f(x)周期为T：
可以改写为这样：
也就是说向量f(x)的基为：
是的，1也是基。
那么可以得到：
C也可以通过点积来表示，最终我们得到：
其中：
