逆矩阵是什么？
数有倒数：
数的倒数
逆矩阵也是相同的概念，但我们写为A-1
为什么不写成 1/A? 因为我们不除以矩阵！而同时 1/8 也可以写成 8-1
还有其他相似之处：
把数与其倒数相乘的结果是 1
8 × (1/8) = 1
当我们把矩阵与其逆相乘，结果是单位矩阵（就像是矩阵里的”1”）：
A × A-1 = I
把逆放在前面的结果是一样的：
(1/8) × 8 = 1
A-1 × A = I
单位矩阵
上面我们讲到”单位矩阵”。它是矩阵里的 “1”:
3x3 单位矩阵
- 它是个”方形”矩阵（相同数目的行和列），
- 在对角线是 1，在其他位置是 0。
- 符号是大写字母 I。
单位矩阵可以是 2×2、或 3×3、4×4 等等
定义
这是逆矩阵的定义：
A的 逆（矩阵）是 A-1，仅当：
A × A-1 = A-1 × A = I
但有些矩阵是没有逆矩阵的。
2x2 矩阵
好了，怎样求逆矩阵呢？
2x2 矩阵的逆是：
换句话说：调换 a 和 d 的位置，把 负号放在 b 和 c 前面，然后全部除以矩阵的 行列式 （ad-bc）。
看例子：
怎样知道答案是对的？
我们上面说过： A × A-1 = I
我们把矩阵与逆矩阵相乘来看看：
哈！真的得到单位矩阵！所以答案是对的。
A-1 × A = I 也是对的。
你自己来试试把它们相乘，看看可不可以也得到单位矩阵：
我们为什么需要逆矩阵？
以为我们不除矩阵！在矩阵世界里是没有除的概念的。
但我们可以乘以逆矩阵，这和除是相同的。
假设我们不能除以数字。。。。。。
。。。。。。那我我们怎样”把10个苹果分给2个人”呢？
我们可以用 2 的 倒数（等于 0.5）：
10 × 0.5 = 5
每人得到 5 个苹果。
矩阵也可以做同样的：
假设我们知道矩阵 A 和 B，而需要求矩阵 X:
XA = B
如果可以每边除以 A （来得到 X=B/A）就最好了，但 我们不能除矩阵。
可是，把每边乘以 A-1 呢？
XAA-1 = BA-1
我们知道 AA-1 = I，所以：
XI = BA-1
拿走 I （和把 “1” 从数子式子 1x = ab 拿走一样）：
X = BA-1
得到答案了 (假设可以计算 A-1）
在这个例子中我们要非常小心去做矩阵相乘，因为在矩阵乘法，次序是重要的。AB 几乎永远都不会等于 BA.
实例：公交车与地铁
一帮人坐公交车，车费是小孩￥3，大人￥3.20，总共是￥118.40。
回程他们搭地铁，车费是小孩￥3.50，大人￥3.60，总共是￥135.20。
有几个小孩和几个大人？
我们先把矩阵编排好（小心不要把行和列弄错！）：
这和上面的例子一样：
XA = B
去解它我们需要 “A” 的逆：
算出逆矩阵后我们便可以这样解：
X = BA-1
有16个小孩和22个大人！
答案很奇妙的出现了。但计算是基于正确的数学逻辑的。
工程师用类似的计算（当然是用大得多的矩阵）来设计楼宇。类似的计算也应用在很多其他的领域，例如在电玩和电脑动画制作里用来显示三维物体。
这也是解线性方程组的一种方法。
计算在电脑中运算，但人必须要了解公式。
次序是重要的
假设我们要求 “X”：
AX = B
这和上面的例子不一样！ X 现在是在 A 的后面。
在矩阵乘法，次序通常会改变答案。千万不能假设 AB = BA，这几乎一定是错的。
那么我们怎样去解它？用同一方法，但把 A-1 放在前面：
A-1AX = A-1B
我们知道 A-1A= I，所以：
IX = A-1B
拿走 I：
X = A-1B
得到答案了（假设我们可以计算 A-1）
可以这样做，但小心怎样编排矩阵。
正确地编排AX = B是这样：
很酷！我喜欢这个。
留意到与上面的例子比较，行与列调换了（”转置”了）
我们需要 “A” 的逆矩阵：
与上面的逆矩阵差不多，但
转置了（行与列调换位置）。
算出逆矩阵后我们便可以这样解：
X = A-1B
答案没变：16个小孩和22个大人。
矩阵是强大的工具，但一定要编排得正确！
可能没有逆矩阵
首先，矩阵一定要是”方形” （行和列数目相同）才能有逆矩阵。
同时，行列式不能是零 （不然便要除以零了）。看看这个：
24-24？ 等于 0， 1/0 是未定义的。
不能继续做下去了！ 这矩阵没有逆矩阵。
这种矩阵叫 “降秩矩阵”，就是行列式为零的矩阵。
这合理。。。。。。来看数字：第二行不过是第一行的双倍，没有新的信息。
行列式就是告诉我们这个。
（假想在公交车例子里，地铁的车费全是比公交车贵一半：我们便不能找出大人和小孩的分别。一定要有某些东西来使他们不同，我们才可以算出小孩和大人的数量。）
更大的矩阵
计算 2x2 矩阵的逆是 很容易的。。。。。。与更大的矩阵相比（例如 3x3 和 4x4等）。
计算大矩阵的逆，我们可以用三个方法：
结论
- A 的逆矩阵是 A-1 仅当 A × A-1 = A-1 × A = I
- 求 2x2 矩阵的逆矩阵： 调换 a 和 d 的位置，把 负号 放在 b 和 c 前面，然后全部除以 矩阵的行列式 （ad-bc）。
- 有时候一个矩阵是没有逆矩阵的